今回は、兵庫県播磨地方の雄、白陵中学校から2023年度の図形問題です。
白陵中学校は毎年医学部に多数の生徒を送り出す、名門中の名門です。
偏差値も、前期後期ともに平成初期と変わらぬポジションをキープし続けています。
これって何気にすごいことです。
以前は中学校は男子校だったのですが、現在は中学高校ともに共学になっております。
問題もじっくり取り組む必要がある良問が多いです。
脳トレにどうぞ～。
図形の拡大。
では、ヒント。
「とにかく相似です。」
という感じですね。
直角三角形ばかりですので、直角のほかにもう一つの角が同じであれば相似です。
では解説です。
(1)からいきます。
DEの長さを➀とします。
30°と60°と90°の角を持つ直角三角形の斜辺と短辺の比は、正三角形を利用して2:1と証明できるので、
赤の三角形よりFEは➁となります。
折り返していることからFE＝CEとなり
CEも➁となります。
以上より、この四角の縦の長さ(AB)は➂とわかります。
よって(1)の答えは3倍です。
続いて(2)にいきます。
まず、赤の三角形の面積を➊とします。
赤の三角形と緑の三角形の相似比が1:2、
面積比は1:4になることを利用します。
緑の三角形はそれぞれ➍です。
ここからが工夫のしどころです。
補助線が必要です。
下のようにADとBEの延長戦の交点をGとすると、
オレンジの三角形ができあがります。
これも角度に注目すると赤の三角形と相似であることがわかります。
赤の三角形と、オレンジの三角形の相似比は1:3、面積比は1:9となります。
よってオレンジの部分の面積は➒。
延長でできた部分の三角形DEGは赤の三角形と合同ですから面積は➊。
青の部分の面積は
➒－➍－➊－➊＝➌です。
□ABCDの面積は⓬でこれが36㎠ですから
△BEFの面積は36÷12×4で12㎠となります。
なかなか楽しい問題ですね♪
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